$$$24 t^{3} - 18 t - 6$$$の積分

$$$\int \left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)\, dt$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 d t} - \int{18 t d t} + \int{24 t^{3} d t}\right)}}$$

$$$c=6$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dt = c t$$$ を適用する:

$$- \int{18 t d t} + \int{24 t^{3} d t} - {\color{red}{\int{6 d t}}} = - \int{18 t d t} + \int{24 t^{3} d t} - {\color{red}{\left(6 t\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=18$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用する:

$$- 6 t + \int{24 t^{3} d t} - {\color{red}{\int{18 t d t}}} = - 6 t + \int{24 t^{3} d t} - {\color{red}{\left(18 \int{t d t}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 6 t + \int{24 t^{3} d t} - 18 {\color{red}{\int{t d t}}}=- 6 t + \int{24 t^{3} d t} - 18 {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- 6 t + \int{24 t^{3} d t} - 18 {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=24$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{3}$$$ に対して適用する:

$$- 9 t^{2} - 6 t + {\color{red}{\int{24 t^{3} d t}}} = - 9 t^{2} - 6 t + {\color{red}{\left(24 \int{t^{3} d t}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 9 t^{2} - 6 t + 24 {\color{red}{\int{t^{3} d t}}}=- 9 t^{2} - 6 t + 24 {\color{red}{\frac{t^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- 9 t^{2} - 6 t + 24 {\color{red}{\left(\frac{t^{4}}{4}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)d t} = 6 t^{4} - 9 t^{2} - 6 t$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)d t} = 3 t \left(2 t^{3} - 3 t - 2\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)d t} = 3 t \left(2 t^{3} - 3 t - 2\right)+C$$

$$$\int \left(24 t^{3} - 18 t - 6\right)\, dt = 3 t \left(2 t^{3} - 3 t - 2\right) + C$$$A