$$$6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}$$$の積分
入力内容
$$$\int 6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}} d x}=\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x}$$$。
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=6 \sqrt{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \sqrt{2} \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$
$$$n=\frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$6 \sqrt{2} {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=6 \sqrt{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=6 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$
したがって、
$$\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}$$
積分定数を加える:
$$\int{6 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5}+C$$
解答
$$$\int 6 \sqrt{2} \sqrt{x^{3}}\, dx = \frac{12 \sqrt{2} x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$$$A