$$$2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)$$$の積分

$$$\int 2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(- 23 x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(- 23 x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$2 {\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(- 23 x \right)} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=2 {\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{4} - \int{\frac{x^{3}}{4} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - 2 {\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{4} d x}}} = \frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} d x}}{4}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{2}$$

したがって、

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \ln{\left(- 23 x \right)}}{2} - \frac{x^{4}}{8}$$

簡単化せよ:

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \left(4 \ln{\left(- x \right)} - 1 + 4 \ln{\left(23 \right)}\right)}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 x^{3} \ln{\left(- 23 x \right)} d x} = \frac{x^{4} \left(4 \ln{\left(- x \right)} - 1 + 4 \ln{\left(23 \right)}\right)}{8}+C$$

$$$\int 2 x^{3} \ln\left(- 23 x\right)\, dx = \frac{x^{4} \left(4 \ln\left(- x\right) - 1 + 4 \ln\left(23\right)\right)}{8} + C$$$A