$$$2 \sin{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{2 \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \cos{\left(2 x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \cos{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = - \cos{\left(2 x \right)} + C$$$A