$$$2 e^{x} - 10$$$の積分

$$$\int \left(2 e^{x} - 10\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(2 e^{x} - 10\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{10 d x} + \int{2 e^{x} d x}\right)}}$$

$$$c=10$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\int{10 d x}}} = \int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\left(10 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$ に対して適用する:

$$- 10 x + {\color{red}{\int{2 e^{x} d x}}} = - 10 x + {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$です:

$$- 10 x + 2 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = - 10 x + 2 {\color{red}{e^{x}}}$$

したがって、

$$\int{\left(2 e^{x} - 10\right)d x} = - 10 x + 2 e^{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(2 e^{x} - 10\right)d x} = - 10 x + 2 e^{x}+C$$

$$$\int \left(2 e^{x} - 10\right)\, dx = \left(- 10 x + 2 e^{x}\right) + C$$$A