$$$2 e^{2 y}$$$の積分

$$$\int 2 e^{2 y}\, dy$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(y \right)} = e^{2 y}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{2 y} d y}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 y} d y}\right)}}$$

$$$u=2 y$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 y\right)^{\prime }dy = 2 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 y} d y}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 y$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(2 y\right)}}}$$

したがって、

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}+C$$

$$$\int 2 e^{2 y}\, dy = e^{2 y} + C$$$A