$$$20 e^{\frac{3 x}{2}}$$$の積分

$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=20$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{3 x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{3 x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{3 dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{2 du}{3}$$$ となります。

したがって、

$$20 {\color{red}{\int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}} = 20 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{40 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{3 x}{2}$$$:

$$\frac{40 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{40 e^{{\color{red}{\left(\frac{3 x}{2}\right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}+C$$

$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} + C$$$A