$$$- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 d x} - \int{\frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} d x}\right)}}$$

$$$c=2$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{\frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} d x} + {\color{red}{\int{2 d x}}} = - \int{\frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} d x} + {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$ に対して適用する:

$$2 x - {\color{red}{\int{\frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} d x}}} = 2 x - {\color{red}{\left(\frac{3 \sqrt{13} \int{\sqrt{x} d x}}{13}\right)}}$$

$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 x - \frac{3 \sqrt{13} {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}}{13}=2 x - \frac{3 \sqrt{13} {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}}{13}=2 x - \frac{3 \sqrt{13} {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{13}=2 x - \frac{3 \sqrt{13} {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{13}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2\right)d x} = - \frac{2 \sqrt{13} x^{\frac{3}{2}}}{13} + 2 x$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2\right)d x} = - \frac{2 \sqrt{13} x^{\frac{3}{2}}}{13} + 2 x+C$$

$$$\int \left(- \frac{3 \sqrt{13} \sqrt{x}}{13} + 2\right)\, dx = \left(- \frac{2 \sqrt{13} x^{\frac{3}{2}}}{13} + 2 x\right) + C$$$A