$$$\frac{16}{x^{2} - 16}$$$の積分

$$$\int \frac{16}{x^{2} - 16}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=16$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} - 16}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{16}{x^{2} - 16} d x}}} = {\color{red}{\left(16 \int{\frac{1}{x^{2} - 16} d x}\right)}}$$

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$$16 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 16} d x}}} = 16 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(x + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 4\right)}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$$16 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{8 \left(x + 4\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 4\right)}\right)d x}}} = 16 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - \int{\frac{1}{8 \left(x + 4\right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 4}$$$ に対して適用する:

$$16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 16 {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(x + 4\right)} d x}}} = 16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 16 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 4} d x}}{8}\right)}}$$

$$$u=x + 4$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 4} d x}}} = 16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} - 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 4$$$:

$$- 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + 16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x} = - 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 4\right)}}}\right| \right)} + 16 \int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$$$ に対して適用する:

$$- 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 16 {\color{red}{\int{\frac{1}{8 \left(x - 4\right)} d x}}} = - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 16 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 4} d x}}{8}\right)}}$$

$$$u=x - 4$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$- 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 4} d x}}} = - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 4$$$:

$$- 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)} + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{16}{x^{2} - 16} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)} - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{16}{x^{2} - 16} d x} = 2 \ln{\left(\left|{x - 4}\right| \right)} - 2 \ln{\left(\left|{x + 4}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{16}{x^{2} - 16}\, dx = \left(2 \ln\left(\left|{x - 4}\right|\right) - 2 \ln\left(\left|{x + 4}\right|\right)\right) + C$$$A