$$$- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=- \frac{3}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{\sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{2} - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$- \frac{3 {\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}}}{2} = - \frac{3 {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{3 {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = - \frac{3 {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$- 3 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - 3 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$:

$$3 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = 3 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)d x} = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \left(- \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}}{2}\right)\, dx = 3 \cos{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + C$$$A