$$$- \rho t + 1$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \left(- \rho t + 1\right)\, dt$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \rho t + 1\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d t} - \int{\rho t d t}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dt = c t$$$ を適用する:

$$- \int{\rho t d t} + {\color{red}{\int{1 d t}}} = - \int{\rho t d t} + {\color{red}{t}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\rho$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用する:

$$t - {\color{red}{\int{\rho t d t}}} = t - {\color{red}{\rho \int{t d t}}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \rho {\color{red}{\int{t d t}}} + t=- \rho {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}} + t=- \rho {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}} + t$$

したがって、

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = - \frac{\rho t^{2}}{2} + t$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(- \rho t + 1\right)\, dt = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2} + C$$$A