$$$- \frac{2 x}{\pi} + 1$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\frac{2 x}{\pi} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{\frac{2 x}{\pi} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\frac{2 x}{\pi} d x} + {\color{red}{x}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{2}{\pi}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$x - {\color{red}{\int{\frac{2 x}{\pi} d x}}} = x - {\color{red}{\left(\frac{2 \int{x d x}}{\pi}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$x - \frac{2 {\color{red}{\int{x d x}}}}{\pi}=x - \frac{2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{\pi}=x - \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{\pi}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)d x} = - \frac{x^{2}}{\pi} + x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)d x} = \frac{x \left(\pi - x\right)}{\pi}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)d x} = \frac{x \left(\pi - x\right)}{\pi}+C$$

$$$\int \left(- \frac{2 x}{\pi} + 1\right)\, dx = \frac{x \left(\pi - x\right)}{\pi} + C$$$A