$$$\frac{2 i n t}{x^{2} + 1}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2 i n t$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\left(2 i n t \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}\right)}}$$
$$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ です:
$$2 i n t {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}} = 2 i n t {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}$$
したがって、
$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}+C$$
解答
$$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)} + C$$$A