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$$$\frac{1}{2 u^{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$
$$$n=-2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{2}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u} = - \frac{1}{2 u}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u} = - \frac{1}{2 u}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = - \frac{1}{2 u} + C$$$A