$$$\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}} d y}=\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}$$$。
平方完成を行ってください（手順は»で確認できます）: $$$y^{2} - y = \left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}}$$
$$$u=y - \frac{1}{2}$$$ とする。
すると $$$du=\left(y - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = du$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}}$$
$$$u=\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}$$$ とする。
すると $$$du=\left(\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\sinh{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (手順は»で確認できます)。
また、$$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$が成り立つ。
したがって、
$$$\frac{1}{\sqrt{ u ^{2} - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}$$$
恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:
$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}=\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}$$$
$$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:
$$$\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\sinh{\left( v \right)}}$$$
したがって、
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$
$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:
$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$
次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$:
$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}}}$$
次のことを思い出してください $$$u=y - \frac{1}{2}$$$:
$$\operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{\left(y - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)} + C$$$A