$$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \sin{\left(2 u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sin{\left(2 u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \sin{\left(2 u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\sin{\left(2 u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

被積分関数を書き換える:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\sin{\left(2 u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2}$$

公式 $$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ を用いて余弦を正弦で表し、次に2倍角の公式 $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ を用いて正弦を書き換えなさい。:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{4 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$を掛ける:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{4 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{4 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{4}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{4} + C$$$A