$$$1 - z^{3}$$$の積分

$$$\int \left(1 - z^{3}\right)\, dz$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - z^{3}\right)d z}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d z} - \int{z^{3} d z}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dz = c z$$$ を適用する:

$$- \int{z^{3} d z} + {\color{red}{\int{1 d z}}} = - \int{z^{3} d z} + {\color{red}{z}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int z^{n}\, dz = \frac{z^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$z - {\color{red}{\int{z^{3} d z}}}=z - {\color{red}{\frac{z^{1 + 3}}{1 + 3}}}=z - {\color{red}{\left(\frac{z^{4}}{4}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - z^{3}\right)d z} = - \frac{z^{4}}{4} + z$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - z^{3}\right)d z} = - \frac{z^{4}}{4} + z+C$$

$$$\int \left(1 - z^{3}\right)\, dz = \left(- \frac{z^{4}}{4} + z\right) + C$$$A