$$$\frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}\, dx$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\frac{1}{\ln{\left(x^{2} \right)}} d x}=\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x}$$$。
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\ln{\left(x \right)}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} d x}}{2}\right)}}$$
この積分（対数積分）には閉形式はありません:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{li}{\left(x \right)}}}}{2}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}\, dx = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2} + C$$$A