$$$-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \left(-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x} - {\color{red}{x}}$$

公式 $$$\cos\left(x\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$$ を用いて余弦を正弦で表し、次に2倍角の公式 $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$ を用いて正弦を書き換えなさい。:

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$を掛ける:

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx = 2 du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - x + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$- x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - x + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\left(-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)d x} = - x + \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)d x} = - x + \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(-1 + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = \left(- x + \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)\right) + C$$$A