$$$\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

双曲線関数を指数関数で表せ:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}}$$

被積分関数を簡単化する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}\right)}}$$

Simplify:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}}$$

$$$u=e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = du$$$ となります。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ です:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{x}$$$:

$$2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} + C$$$A