$$$\frac{1}{3} - x$$$の積分

$$$\int \left(\frac{1}{3} - x\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} - x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3} d x} - \int{x d x}\right)}}$$

$$$c=\frac{1}{3}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{x d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = - \int{x d x} + {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{x}{3} - {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x\right)d x} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{3}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x\right)d x} = \frac{x \left(2 - 3 x\right)}{6}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{1}{3} - x\right)d x} = \frac{x \left(2 - 3 x\right)}{6}+C$$

$$$\int \left(\frac{1}{3} - x\right)\, dx = \frac{x \left(2 - 3 x\right)}{6} + C$$$A