$$$1 - 10 x^{2}$$$の積分

$$$\int \left(1 - 10 x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - 10 x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{10 x^{2} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{10 x^{2} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{10 x^{2} d x} + {\color{red}{x}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=10$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ に対して適用する:

$$x - {\color{red}{\int{10 x^{2} d x}}} = x - {\color{red}{\left(10 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$x - 10 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=x - 10 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=x - 10 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - 10 x^{2}\right)d x} = - \frac{10 x^{3}}{3} + x$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - 10 x^{2}\right)d x} = - \frac{10 x^{3}}{3} + x+C$$

$$$\int \left(1 - 10 x^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{10 x^{3}}{3} + x\right) + C$$$A