$$$\left(- a + x\right)^{- p}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \left(- a + x\right)^{- p}\, dx$$$ を求めよ。
解答
入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\left(- a + x\right)^{- p} d x}=\int{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p} d x}$$$。
$$$u=- a + x$$$ とする。
すると $$$du=\left(- a + x\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u}\right)^{p} d u}}}$$
$$$v=\frac{1}{u}$$$ とする。
すると $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u}\right)^{p} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- v^{p - 2}\right)d v}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(v \right)} = v^{p - 2}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\left(- v^{p - 2}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{v^{p - 2} d v}\right)}}$$
$$$n=p - 2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- {\color{red}{\int{v^{p - 2} d v}}}=- {\color{red}{\frac{v^{\left(p - 2\right) + 1}}{\left(p - 2\right) + 1}}}=- {\color{red}{\frac{v^{p - 1}}{p - 1}}}$$
次のことを思い出してください $$$v=\frac{1}{u}$$$:
$$- \frac{{\color{red}{v}}^{p - 1}}{p - 1} = - \frac{{\color{red}{\frac{1}{u}}}^{p - 1}}{p - 1}$$
次のことを思い出してください $$$u=- a + x$$$:
$$- \frac{\left({\color{red}{u}}^{-1}\right)^{p - 1}}{p - 1} = - \frac{\left({\color{red}{\left(- a + x\right)}}^{-1}\right)^{p - 1}}{p - 1}$$
したがって、
$$\int{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p} d x} = - \frac{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p - 1}}{p - 1}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p} d x} = - \frac{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p - 1}}{p - 1}+C$$
解答
$$$\int \left(- a + x\right)^{- p}\, dx = - \frac{\left(\frac{1}{- a + x}\right)^{p - 1}}{p - 1} + C$$$A