$$$\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln\left(x\right)}$$$の積分

$$$\int \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln\left(x\right)}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln{\left(x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} + \int{\frac{1}{1 - x} d x}\right)}}$$

$$$u=1 - x$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

したがって、

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - x} d x}}} = \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} + {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - x$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}\right| \right)} + \int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x}$$

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x} = du$$$ となります。

したがって、

$$- \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}} d x}}} = - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln{\left(x \right)}}\right)d x} = - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\ln{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln{\left(x \right)}}\right)d x} = - \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\ln{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x \ln\left(x\right)}\right)\, dx = \left(- \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{\ln\left(x\right)}\right|\right)\right) + C$$$A