$$$\frac{4}{x^{8}}$$$の積分

$$$\int \frac{4}{x^{8}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{8}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{4}{x^{8}} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{x^{8}} d x}\right)}}$$

$$$n=-8$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{8}} d x}}}=4 {\color{red}{\int{x^{-8} d x}}}=4 {\color{red}{\frac{x^{-8 + 1}}{-8 + 1}}}=4 {\color{red}{\left(- \frac{x^{-7}}{7}\right)}}=4 {\color{red}{\left(- \frac{1}{7 x^{7}}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\frac{4}{x^{8}} d x} = - \frac{4}{7 x^{7}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{4}{x^{8}} d x} = - \frac{4}{7 x^{7}}+C$$

$$$\int \frac{4}{x^{8}}\, dx = - \frac{4}{7 x^{7}} + C$$$A