$$$\frac{1}{x^{2} - 32 x}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 32 x}\, dx$$$ を求めよ。

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 32 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} - \frac{1}{32 x}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} - \frac{1}{32 x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{32 x} d x} + \int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{32}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ に対して適用する:

$$\int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{32 x} d x}}} = \int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x} d x}}{32}\right)}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ です:

$$\int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}}}{32} = \int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}}{32}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{32}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 32}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + {\color{red}{\int{\frac{1}{32 \left(x - 32\right)} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 32} d x}}{32}\right)}}$$

$$$u=x - 32$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 32\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 32} d x}}}}{32} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{32}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{32} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{32}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 32$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{32} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 32\right)}}}\right| \right)}}{32}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 32 x} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}{32} + \frac{\ln{\left(\left|{x - 32}\right| \right)}}{32}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 32 x} d x} = \frac{- \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 32}\right| \right)}}{32}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 32 x} d x} = \frac{- \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 32}\right| \right)}}{32}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 32 x}\, dx = \frac{- \ln\left(\left|{x}\right|\right) + \ln\left(\left|{x - 32}\right|\right)}{32} + C$$$A