$$$\frac{1}{- a + t}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{- a + t}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=- a + t$$$ とする。

すると $$$du=\left(- a + t\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- a + t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- a + t$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + t\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{- a + t} d t} = \ln{\left(\left|{a - t}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{- a + t} d t} = \ln{\left(\left|{a - t}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{- a + t}\, dt = \ln\left(\left|{a - t}\right|\right) + C$$$A