$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$$が成り立つ。

被積分関数は次のようになる

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{3 \cos{\left( u \right)}}$$$

積分は次のようになる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

$$$c=\frac{1}{2}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + C$$$A