$$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 3 du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

被積分関数を余割関数を用いて書き換えなさい:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = 3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ です:

$$3 {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{3}$$$:

$$- 3 \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 3 \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} d x} = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}\, dx = - 3 \cot{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$$$A