$$$\frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}}\, dg$$$ を求めよ。

$$$u=g - 27$$$ とする。

すると $$$du=\left(g - 27\right)^{\prime }dg = 1 dg$$$（手順は»で確認できます）、$$$dg = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}} d g}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u}}}$$

$$$n=- \frac{2}{3}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{- \frac{2}{3}} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{- \frac{2}{3} + 1}}{- \frac{2}{3} + 1}}}={\color{red}{\left(3 u^{\frac{1}{3}}\right)}}={\color{red}{\left(3 \sqrt[3]{u}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=g - 27$$$:

$$3 \sqrt[3]{{\color{red}{u}}} = 3 \sqrt[3]{{\color{red}{\left(g - 27\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}} d g} = 3 \sqrt[3]{g - 27}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}} d g} = 3 \sqrt[3]{g - 27}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(g - 27\right)^{\frac{2}{3}}}\, dg = 3 \sqrt[3]{g - 27} + C$$$A