$$$\frac{1}{- a + b}$$$ の $$$a$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{- a + b}\, da$$$ を求めよ。

$$$u=- a + b$$$ とする。

すると $$$du=\left(- a + b\right)^{\prime }da = - da$$$（手順は»で確認できます）、$$$da = - du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- a + b} d a}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- a + b$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + b\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{- a + b} d a} = - \ln{\left(\left|{a - b}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{- a + b} d a} = - \ln{\left(\left|{a - b}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{- a + b}\, da = - \ln\left(\left|{a - b}\right|\right) + C$$$A