$$$\frac{1}{a - p}$$$ の $$$a$$$ に関する積分

$$$\int \frac{1}{a - p}\, da$$$ を求めよ。

$$$u=a - p$$$ とする。

すると $$$du=\left(a - p\right)^{\prime }da = 1 da$$$（手順は»で確認できます）、$$$da = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a - p} d a}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=a - p$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a - p\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{a - p} d a} = \ln{\left(\left|{a - p}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{a - p} d a} = \ln{\left(\left|{a - p}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{a - p}\, da = \ln\left(\left|{a - p}\right|\right) + C$$$A