$$$\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=4 x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(4 x + 1\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{4}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 u^{10}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{10}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 u^{10}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{10}} d u}}{4}\right)}}$$

$$$n=-10$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{10}} d u}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-10} d u}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-10 + 1}}{-10 + 1}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{u^{-9}}{9}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{9 u^{9}}\right)}}}{4}$$

次のことを思い出してください $$$u=4 x + 1$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{-9}}{36} = - \frac{{\color{red}{\left(4 x + 1\right)}}^{-9}}{36}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}} d x} = - \frac{1}{36 \left(4 x + 1\right)^{9}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}} d x} = - \frac{1}{36 \left(4 x + 1\right)^{9}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{10}}\, dx = - \frac{1}{36 \left(4 x + 1\right)^{9}} + C$$$A