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$$$\frac{1}{4 t^{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{4 t^{2}}\, dt$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{t^{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 t^{2}} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{t^{2}} d t}}{4}\right)}}$$
$$$n=-2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{t^{2}} d t}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\int{t^{-2} d t}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\frac{t^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- t^{-1}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{t}\right)}}}{4}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{4 t^{2}} d t} = - \frac{1}{4 t}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{4 t^{2}} d t} = - \frac{1}{4 t}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{4 t^{2}}\, dt = - \frac{1}{4 t} + C$$$A