$$$\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

二倍角の公式 $$$\cos\left(x\right)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$$ を用いて余弦を書き換え、簡単化せよ。:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

被積分関数を余割関数を用いて書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A