$$$\frac{1}{x^{n} + 1}$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{x^{n} + 1}\, dx$$$ を求めよ。
解答
この積分には閉形式はありません:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{n} + 1} d x}}} = {\color{red}{x {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 1, \frac{1}{n} \\ 1 + \frac{1}{n} \end{matrix}\middle| {- x^{n}} \right)}}}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{x^{n} + 1} d x} = x {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 1, \frac{1}{n} \\ 1 + \frac{1}{n} \end{matrix}\middle| {- x^{n}} \right)}$$
簡単化せよ:
$$\int{\frac{1}{x^{n} + 1} d x} = \frac{x \Phi\left(x^{n} e^{i \pi}, 1, \frac{1}{n}\right)}{n}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{x^{n} + 1} d x} = \frac{x \Phi\left(x^{n} e^{i \pi}, 1, \frac{1}{n}\right)}{n}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{x^{n} + 1}\, dx = \frac{x \Phi\left(x^{n} e^{i \pi}, 1, \frac{1}{n}\right)}{n} + C$$$A