$$$\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{200}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{200}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{200}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{200}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 200 du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=200$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(200 \int{e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$100 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 100 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{200}$$$:

$$100 e^{{\color{red}{u}}} = 100 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{200}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx = 100 e^{\frac{x}{200}} + C$$$A