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$$$- \frac{1}{\sqrt{u}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}\right)}}$$
$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=- {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)d u} = - 2 \sqrt{u}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)d u} = - 2 \sqrt{u}+C$$
解答
$$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du = - 2 \sqrt{u} + C$$$A