$$$3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}}$$$の積分

$$$\int 3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=3 \sqrt{5}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \sqrt{5} \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$

$$$n=\frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$3 \sqrt{5} {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=3 \sqrt{5} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=3 \sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$

したがって、

$$\int{3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{6 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}} d x} = \frac{6 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}}{5}+C$$

$$$\int 3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{6 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$$$A