$$$f^{2} x^{n}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int f^{2} x^{n}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=f^{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{n}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{f^{2} x^{n} d x}}} = {\color{red}{f^{2} \int{x^{n} d x}}}$$

$$$n=n$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$f^{2} {\color{red}{\int{x^{n} d x}}}=f^{2} {\color{red}{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}}=f^{2} {\color{red}{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}}$$

したがって、

$$\int{f^{2} x^{n} d x} = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1}$$

積分定数を加える:

$$\int{f^{2} x^{n} d x} = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1}+C$$

$$$\int f^{2} x^{n}\, dx = \frac{f^{2} x^{n + 1}}{n + 1} + C$$$A