$$$\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}} d x}=\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}$$$。

$$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\prime }dx = \frac{3 \sqrt{x}}{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sqrt{x} dx = \frac{2 du}{3}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}{3}\right)}}$$

$$$u=2 \sin{\left(v \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 2 \cos{\left(v \right)} dv$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( v \right)}}$$$

したがって、

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{v}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{v}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$:

$$\frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{x^{\frac{3}{2}}}}}{2} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3} + C$$$A