$$$\sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}}$$$の積分

$$$\int \sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=\cos{\left(t \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt = - \sin{\left(t \right)} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(t \right)} dt = - du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{u} d u}\right)}}$$

$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(t \right)}$$$:

$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = - \frac{2 {\color{red}{\cos{\left(t \right)}}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}} d t} = - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(t \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}} d t} = - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(t \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sin{\left(t \right)} \sqrt{\cos{\left(t \right)}}\, dt = - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(t \right)}}{3} + C$$$A