$$$\ln\left(x^{7}\right) - \ln\left(y^{3}\right)$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(7 \ln\left(x\right) - 3 \ln\left(y\right)\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\left(\ln{\left(x^{7} \right)} - \ln{\left(y^{3} \right)}\right)d x}=\int{\left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)}\right)d x}$$$。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{7 \ln{\left(x \right)} d x} - \int{3 \ln{\left(y \right)} d x}\right)}}$$

$$$c=3 \ln{\left(y \right)}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{7 \ln{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(y \right)} d x}}} = \int{7 \ln{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\left(3 x \ln{\left(y \right)}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=7$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$$- 3 x \ln{\left(y \right)} + {\color{red}{\int{7 \ln{\left(x \right)} d x}}} = - 3 x \ln{\left(y \right)} + {\color{red}{\left(7 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$- 3 x \ln{\left(y \right)} + 7 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=- 3 x \ln{\left(y \right)} + 7 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=- 3 x \ln{\left(y \right)} + 7 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$7 x \ln{\left(x \right)} - 3 x \ln{\left(y \right)} - 7 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 7 x \ln{\left(x \right)} - 3 x \ln{\left(y \right)} - 7 {\color{red}{x}}$$

したがって、

$$\int{\left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)}\right)d x} = 7 x \ln{\left(x \right)} - 3 x \ln{\left(y \right)} - 7 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)}\right)d x} = x \left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)} - 7\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)}\right)d x} = x \left(7 \ln{\left(x \right)} - 3 \ln{\left(y \right)} - 7\right)+C$$

$$$\int \left(7 \ln\left(x\right) - 3 \ln\left(y\right)\right)\, dx = x \left(7 \ln\left(x\right) - 3 \ln\left(y\right) - 7\right) + C$$$A