$$$e^{\frac{x}{c}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{c}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = c du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=c$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A