$$$\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)}}{c_{0}}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x}}} = {\color{red}{\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}{c_{0}}}}$$

積分 $$$\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{c_{0}}=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}}{c_{0}}=\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}\right)}}}{c_{0}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}}}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{2}\right)}}\right)}{c_{0}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)}{c_{0}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}\right)}{c_{0}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{4}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{4}\right)}{c_{0}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$\frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4}\right)}{c_{0}} = \frac{s^{2} \sin{\left(1 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}\right)}{c_{0}}$$

したがって、

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(1 \right)}}{c_{0}}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}} d x} = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}}+C$$

$$$\int \frac{s^{2} x \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{c_{0}}\, dx = \frac{s^{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) \sin{\left(1 \right)}}{4 c_{0}} + C$$$A