$$$- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x} - \int{\frac{1}{2 x - 5} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{5}}$$$ に対して適用する:

$$- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x}}} = - \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$n=-5$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\int{x^{-5} d x}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\frac{x^{-5 + 1}}{-5 + 1}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{x^{-4}}{4}\right)}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{4 x^{4}}\right)}}}{2}$$

$$$u=2 x - 5$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x - 5\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}} - \frac{1}{8 x^{4}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} - \frac{1}{8 x^{4}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} - \frac{1}{8 x^{4}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}} - \frac{1}{8 x^{4}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x - 5$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}+C$$

$$$\int \left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\left|{2 x - 5}\right|\right)}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}\right) + C$$$A