$$$\sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} d x}=\int{x^{\frac{7}{8}} d x}$$$。

$$$n=\frac{7}{8}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$${\color{red}{\int{x^{\frac{7}{8}} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{\frac{7}{8} + 1}}{\frac{7}{8} + 1}}}={\color{red}{\left(\frac{8 x^{\frac{15}{8}}}{15}\right)}}$$

したがって、

$$\int{x^{\frac{7}{8}} d x} = \frac{8 x^{\frac{15}{8}}}{15}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{\frac{7}{8}} d x} = \frac{8 x^{\frac{15}{8}}}{15}+C$$

$$$\int \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}\, dx = \frac{8 x^{\frac{15}{8}}}{15} + C$$$A