$$$\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}$$$の積分

$$$\int \frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=3 t^{2} - 7$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 t^{2} - 7\right)^{\prime }dt = 6 t dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$t dt = \frac{du}{6}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{u}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{u}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{3}\right)}}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 t^{2} - 7$$$:

$$\frac{4 \sqrt{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{4 \sqrt{{\color{red}{\left(3 t^{2} - 7\right)}}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t} = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}} d t} = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3}+C$$

$$$\int \frac{4 t}{\sqrt{3 t^{2} - 7}}\, dt = \frac{4 \sqrt{3 t^{2} - 7}}{3} + C$$$A