$$$- \frac{3}{\sqrt{y^{3}}}$$$の積分

$$$\int \left(- \frac{3}{\sqrt{y^{3}}}\right)\, dy$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\left(- \frac{3}{\sqrt{y^{3}}}\right)d y}=\int{\left(- \frac{3}{y^{\frac{3}{2}}}\right)d y}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=-3$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{3}{y^{\frac{3}{2}}}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{\frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y}\right)}}$$

$$$n=- \frac{3}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y}}}=- 3 {\color{red}{\int{y^{- \frac{3}{2}} d y}}}=- 3 {\color{red}{\frac{y^{- \frac{3}{2} + 1}}{- \frac{3}{2} + 1}}}=- 3 {\color{red}{\left(- 2 y^{- \frac{1}{2}}\right)}}=- 3 {\color{red}{\left(- \frac{2}{\sqrt{y}}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- \frac{3}{y^{\frac{3}{2}}}\right)d y} = \frac{6}{\sqrt{y}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \frac{3}{y^{\frac{3}{2}}}\right)d y} = \frac{6}{\sqrt{y}}+C$$

$$$\int \left(- \frac{3}{\sqrt{y^{3}}}\right)\, dy = \frac{6}{\sqrt{y}} + C$$$A