$$$\frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}}$$$の積分

$$$\int \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{\sqrt{t}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{3} \int{\frac{\cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{\sqrt{t}} d t}}{3}\right)}}$$

$$$u=\sqrt{3} \sqrt{t}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{3} \sqrt{t}\right)^{\prime }dt = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{t}} dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{2 \sqrt{3} du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{\sqrt{3} {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{\sqrt{t}} d t}}}}{3} = \frac{\sqrt{3} {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3} \cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{3}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\sqrt{3} {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3} \cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{3} = \frac{\sqrt{3} {\color{red}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}}{3}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{3} \sqrt{t}$$$:

$$\frac{2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = \frac{2 \sin{\left({\color{red}{\sqrt{3} \sqrt{t}}} \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}} d t} = \frac{2 \sin{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}} d t} = \frac{2 \sin{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3 \sqrt{t}}\, dt = \frac{2 \sin{\left(\sqrt{3} \sqrt{t} \right)}}{3} + C$$$A